大学数学数列极限与函数极限的实验报告

大学数学关于数列极限与函数极限的实验报告

　　篇一：大学数学实验 数列极限与函数极限

一、实验目的

从刘徽的割圆术、裴波那奇数列研究数列的收敛性并抽象出极限的定义；理解数列收敛的准则；理解函数极限与数列极限的关系。

二、实验材料

1.1割圆术

中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率。刘徽先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积；其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积。

“割之弥细，所失弥少。割之又割以至不可割，则与圆合体而无所失矣。”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想。

以Sn表示单位圆的圆内接正32n1多边形面积，则其极限为圆周率。用下列

Mathematica程序可以从量和形两个角度考察数列{Sn}的收敛情况：

m=2;n=15;k=10;

n1 For[i=2,i<=n,i++, l[i_]:=N[2*Sin[Pi/(3*2^i)],k];(圆内接正32多边形边长)

n1 s[i_]:=N[3*2^(i-1)*l[i]*Sqrt[1-(l[i])^2/4],k]; (圆内接正32多边形面积)

r[i_]:=Pi-s[i]; d[i_]:=s[i]-s[i-1];

Print[i," ",r[i]," ",l[i]," ",s[i]," ",d[i]]

]

t=Table[{i,s[i]},{i,m,n}](数组)

ListPlot[t] (散点图)

1.2裴波那奇数列和黄金分割

由F00;F11;FnFn1Fn2有著名的裴波那奇数列{Fn}。 如果令Rn1Fn1Fn，由Fn递推公式可得出

1

1Fn1/Fn11Rn1RnFnFnFn1115[，Fn25n1152n1]；

limRnlimnFnFn1n512。

用下列Mathematica程序可以从量和形两个角度考察数列{Rn}的收敛情况：

n=14,k=10; For[i=3,i<=n,i++, t1=(Sqrt[5]+1)/2; t2=(1-Sqrt[5])/2;

f[i_]:=N[(t1^(i+1)-t2^(i+1))/Sqrt[5],k]; (定义裴波那奇数列通项)

rn=(5^(1/2)-1)/2-f[i-1]/f[i];Rn=f[i-1]/f[i];dn=f[i-1]/f[i]-f[i-2]/f[i-1];

Print[i," ",rn," ",Rn," ",dn];

] t=Table[{i,f[i-1]/f[i]},{i,3,n}]ListPlot[t]

1.3收敛与发散的数列

数列{i1inp}当p1时收敛，p1时发散；数列{sinn}发散。

1.4函数极限与数列极限的关系

用Mathematica程序

m=0;r=10^m;x0=0;

f[x_]=x*Sin[1/x]

Plot[f[x],{x,-r,r}]

Limit[f[x],x->x0]

观察f(x)xsinx1的图象可以发现，函数在x0点处不连续，且函数值不存在，但在x0点处有极限。

令xan1/n,n1,2,,100，作函数的取值表，画散点图看其子列的趋向情况

k=10;p=25;

a[n_]=1/n;

tf=Table[{n,N[f[a[n]],k]},{n,1,p}]

ListPlot[tf]

Limit[f[a[n]],n→Infinity,Direction→1]

分别取不同的数列an(要求an0)，重做上述过程，并将各次所得图形的分析结果比

较，可知各子列的极限值均为上述函数的极限值。

对于g(x)sinx1，类似地考察在x0点处的极限。

三、实验准备

认真阅读实验目的与实验材料后要正确地解读实验，在此基础上制定实验计划（修改、补充或编写程序，提出实验思路，明确实验步骤），为上机实验做好准备。

3.1考察数列敛散性

改变或增大n，观察更多的项（量、形），例如，n分别取50，100，200，…；扩展有效数字k，观察随n增大数列的变化趋势，例如，k分别取20，30，50；或固定50；或随n增大而适当增加。对实验要思考，例如，定义中的指标与柯西准则中的指标间的差异；数列收敛方式；又例如，如何估计极限近似值的误差。

3.2考察函数极限与数列极限的关系

改变函数及极限类型，例如，考虑六种函数极限，既选取极限存在也选取极限不存在的例子；改变数列，改变参数观察更多的量，考察形的变化趋势；扩展有效数字k，提高计算精度。要对实验思考，归纳数列敛散与函数敛散的关系。

　　篇二：数学分析习作-数列极限与函数极限的异同

摘 要

极限是数学中极其重要的概念之一，极限的思想是人们认知数学世界解决数学问题的重要武器，是高等数学这个庞大的数学体系得以建立的基础和基石；

极限在数学中处于基础的地位，它是解决微积分等一系列重要数学问题的前提和基础；

极限是一种思维，在学习高数时最好理解透彻了，在线代中没什么用.但是概率中用的比较多，另外物理中许多都用到了极限的思维，它也能帮助更好的理解一些物理知识； 在高等数学中，极限是一个重要的概念，极限可分为数列极限与函数极限，下面是关于两种极限的简要联系与说明。

关键词：数列极限与函数极限的定义，存在条件，性质，运算

一 数列极限与函数极限的定义

1、 数列与函数：

a、数列的定义：数列是指按自然数编了号的一串数：x1，x2，x3，，xn，. 通常记作{xn}，也可将其看作定义在自然数集N上的'函数xn=f(n),nN， 故也称之为整标函数。

b、函数的定义：如果对某个范围X内的每一个实数x，可以按照确定的规律f，

得到Y内唯一一个实数y和这个x对应，我们就称f是X上的函数，它在x的数值（称为函数值）是y，记为f(x)，即yf(x)。

称x是自变量，y是因变量，又称X是函数的定义域，当x遍取X内的所有实

数时，在f的作用下有意义，并且相应的函数值f(x)的全体所组成的范围叫作函数f的值域，要注意的是：值域不一定就是Y，它当然不会比Y大，但它可

能比Y小。

2、 （一） 数列极限的定义：

对数列{xn}，若存在常数A，对0,NN,nN，有

n

x

数列收敛且收敛于A，并称数列{xn}的极限为A，记为limx

1

0. nn

11

证明：分析过程，欲使0,

nn

1

只需n即可，故

n

A，则称

n

=A.

例1.试用定义验证：lim

11

0,N1,nN:0.

n

例2.试用定义验证：lim(1q1).

n

证明：分析过程.欲使qn0q

n

，

只需n

lg

（注意lgq0）。故 lgq

lgn

0，Nmax,1,nN:q0.

lgq

对于比较复杂的表达式xnAn，一般地，我们通过运算,适当放大，将n

变形简化到n，既使得对于0由不等式n能比较容易求得N，又使得当

nN时，恒成立不等式N，从而有xnnn。以下各例的解法中都

贯穿这一思路。

例3.试用定义验证：lim

n

n2n21

. 2

3n2n43

n2

证明：分析过程.

n2n215n10

3n22n433(3n22n4)

5n1

9n2n. 故，

n2n21

0,Nmax{,2},nN:3n22n4.

例4.试用定义验证：lima11(a1).

n

证明：分析过程.欲使a1a1n，注意到a1n， 利用不等式Bernoulli得，

只需n

a

.故n

a

0,N1,nN：a.

例5．试用定义验证：lim

n

n1.

证明:分析过程.仿照上例的证法，记n1n，有

n(n1)2

n(1n)n1n，

2

2

只需n.故

n

2

0，N21，n.N：n.

例6.关于数列xn，证明：若对于某个常数A以及q(0,1)，N0N，nN0：xnqxn1，

则有limxnA.

n

证明：由limqn0可知，

n

0,N1N,nN1:0q

n

qNoxN0A1

,于是由题设可得，

nmaxN0,N1:

xnAqnN0xN0A.

11

，nN.证明：limxn. 1xn2n

证明:显然xn0，注意到 例7.设x11，xn1 xn1

于是由例6即得所证。

251xn. 32

5112251xn21xn21(51)(1x0)

（二）函数极限的定义：

0，Xa，x(X,)f(x)A，定义1设f:(,b)R，若存在AR，

则称当x趋于时的极限为A，记为

limf(x)A或f(x)A(x).

n

类似的，

设F:(,b)R，若存在AR，0,Xb,x(,X):f(x)A,

则称当趋于-时的极限为A，记为

limf(x)A或f(x)A(x).

n

定义2.设f:RR，若存在AR，0,X0,xX,:f(x),,

则称当x趋于时f(x)的极限为A，记为

limf(x)A或f(x)A(x).

x

下面讨论当x趋于某一实数x0时函数的变化情况

函数f(x)在点x0处的左极限，右极限也可分别记作f(x00)，f(x00)左极限，右极限统称为单侧极限.

若f在x0的某去心邻域中有定义，则由定义可知：

lim

xxo

f(x)存在limf(x)和limf(x)均存在且相

xxxx00等.